Đường trung tuyến là một kiến thức toán học quan trọng đối với các bạn học sinh. Vậy hình đường trung tuyến là gì và cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông là gì? Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa sẽ cung cấp thông tin chi tiết thông qua bài viết sau.
1. Cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông
- Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ấy:
Cho tam giác vuông ABC với ∠CAB = 90°.
Bạn đang xem: Cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông
Vẽ đường trung tuyến AM từ đỉnh A của tam giác đến cạnh BC tại điểm M.
Bây giờ, ta chứng minh rằng AM chia cạnh huyền AB thành hai phần bằng nhau.
Ta có:
∠CAB = 90° (theo giả thiết)
∠MAC = ∠MBC (đối đỉnh)
∠MCA = ∠MCB (đối đỉnh)
Vì ∆AMC và ∆BMC có cặp góc tương ứng bằng nhau (∠MAC = ∠MBC và ∠MCA = ∠MCB) và cạnh chung CM, nên theo quy tắc c.g.c, ta có ∆AMC = ∆BMC.
Điều này đồng nghĩa với việc AM chia cạnh huyền AB thành hai phần bằng nhau. Vì vậy, trung tuyến AM ứng với cạnh huyền AB bằng nửa cạnh huyền AB.
- Nếu một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông:
Chúng ta đã chứng minh ở phần 1 rằng trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai phần bằng nhau.
Ngược lại, nếu một tam giác có trung tuyến chia cạnh huyền thành hai phần bằng nhau, thì nó phải là tam giác vuông.
Xem thêm : Nêu các ví dụ về quan hệ hỗ trợ và quan hệ cạnh tranh giữa các cá thể trong quần thể
Vì vậy, nếu tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó, thì tam giác đó là tam giác vuông.
Bằng cách chứng minh cả hai phần trên, ta đã chứng minh được tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông.
2. Lưu ý khi sử dụng cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông
- Trước hết, bạn phải biết rằng tam giác có chứa đường trung tuyến là tam giác vuông. Điều này đặc biệt quan trọng khi bạn áp dụng tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông.
- Bạn cần xác định rõ đường trung tuyến và cạnh huyền của tam giác vuông. Đường trung tuyến sẽ nối một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh huyền.
- Khi chứng minh đường trung tuyến, thường cần phải xác định các góc của tam giác và góc đối diện của chúng. Điều này giúp bạn chứng minh tính chất của đường trung tuyến dựa trên các góc tương ứng bằng nhau.
- Cơ sở chứng minh thường dựa trên các tính chất của tam giác đồng dạng hoặc cơ sở chứng minh của đường trung tuyến trong tam giác vuông (như việc chia cạnh huyền thành hai phần bằng nhau).
- Khi bạn chứng minh sự tương tự giữa các tam giác con bằng cách sử dụng đường trung tuyến, hãy đảm bảo rằng bạn xác định các góc và cạnh tương ứng đúng cách để có thể áp dụng cơ sở chứng minh đúng điều kiện.
- Cuối cùng, sau khi chứng minh được tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông, hãy viết kết luận hợp lý để bao gồm thông tin về trung tuyến, cạnh huyền và tam giác vuông.
3. Bài tập có lời giải áp dụng cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông
Bài tập 1: Cho tam giác vuông ABC với AB = 6 cm và BC = 8 cm. Hãy chứng minh rằng đoạn trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh BC chia cạnh BC thành hai phần bằng nhau.
Lời giải:
Ta biết rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A với AB là cạnh huyền và BC, AC là các cạnh góc vuông.
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Do đó, BM = MC.
Bây giờ, ta cần chứng minh AM là đoạn trung tuyến. Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng AM chia cạnh BC thành hai phần bằng nhau, tức là BM = MC.
Ta có BM = MC (được cho sẵn).
Vì vậy, AM là đoạn trung tuyến.
Bài tập 2: Cho tam giác vuông XYZ với XZ = 10 cm và YZ = 6 cm. Đường trung tuyến từ đỉnh X đến cạnh YZ cắt cạnh YZ tại điểm M. Hãy tính độ dài của đoạn trung tuyến XM.
Lời giải:
Tam giác XYZ là tam giác vuông tại X với XZ là cạnh huyền và YZ, XZ là các cạnh góc vuông.
Xem thêm : MỆNH ĐỀ QUAN HỆ (RELATIVE CLAUSE) – CÁCH DÙNG VÀ BÀI TẬP CÓ ĐÁP ÁN
Gọi M là trung điểm của cạnh YZ. Do đó, YM = MZ.
Bây giờ, ta cần tính độ dài của đoạn trung tuyến XM.
Ta biết XZ = 10 cm và YM = MZ.
Vì vậy, theo tính chất của đoạn trung tuyến trong tam giác vuông, XM = 1/2 * XZ = 1/2 * 10 cm = 5 cm.
Bài tập 3: Cho tam giác vuông PQR với PQ = 15 cm và PR = 9 cm. Đường trung tuyến từ đỉnh P đến cạnh QR cắt cạnh QR tại điểm S. Hãy tính độ dài của đoạn trung tuyến PS.
Lời giải:
Tam giác PQR là tam giác vuông tại P với PQ là cạnh huyền và PR, PQ là các cạnh góc vuông.
Gọi S là trung điểm của cạnh QR. Do đó, QS = SR.
Bây giờ, ta cần tính độ dài của đoạn trung tuyến PS.
Ta biết PR = 9 cm và QS = SR.
Vì vậy, theo tính chất của đoạn trung tuyến trong tam giác vuông, PS = 1/2 * PR = 1/2 * 9 cm = 4.5 cm.
Trên đây là cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông mà đội ngũ Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa chúng tôi đã tổng hợp được. Nếu có gì thắc mắc bạn cũng có thể gọi cho chúng tôi qua HOTLINE 1900 2276 để được giải đáp.
Nguồn: https://thegioiso.edu.vn
Danh mục: Giáo Dục