Một phần của loạt bài về hằng số toán học e Tính chất
- Logarit tự nhiên
- Hàm mũ
Ứng dụng
Bạn đang xem: Công thức Euler là gì? Chứng minh công thức Euler trong số phức mới nhất 2023
- Lãi kép
- Đồng nhất thức Euler
- Công thức Euler
- Chu kỳ bán rã
Định nghĩa e
- Vô tỉ
- Biểu diễn của e
- Định lý Lindemann-Weierstrass
Con người
- John Napier
- Leonhard Euler
Chủ đề liên quan
- Giả thuyết Schanuel
Công thức Euler là một công thức toán học trong ngành giải tích phức, được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức.
Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:
e
i x
= cos ( x ) + i sin ( x )
{displaystyle e^{ix}=cos(x)+isin(x) }
Ở đây e là cơ số logarit tự nhiên, i là đơn vị của số phức,:
sin x
{displaystyle sin x }
và:
cos x
{displaystyle cos x }
là các hàm số lượng giác.
Khai triển từ công thức trên, các hàm số:
cos x
{displaystyle cos x }
và:
sin x
{displaystyle sin x }
có thể được viết dưới dạng sau:
cos ( x ) = ( 1
/
2 ) (
e
i x
+
e
− i x
)
{displaystyle cos(x)=(1/2)(e^{ix}+e^{-ix}) }
sin ( x ) = ( 1
/
2 i ) (
e
i x
−
e
− i x
)
{displaystyle sin(x)=(1/2i)(e^{ix}-e^{-ix}) }
Trường hợp đặc biệt: khi:
x = π
{displaystyle x=pi }
, ta có:
e
i π
= cos ( π ) + i sin ( π ) = − 1
{displaystyle e^{ipi }=cos(pi )+isin(pi )=-1 }
, từ đó dẫn đến công thức rút gọn nổi tiếng:
e
i π
+ 1 = 0
{displaystyle e^{ipi }+1=0 }
Chứng minh
Bằng cách sử dụng chuỗi Taylor
Sau đây là một cách chứng minh công thức Euler bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor cũng như các tính chất cơ bản về lũy thừa của số i:
i
0
= 1
{displaystyle i^{0}=1,}
i
1
= i
{displaystyle i^{1}=i,}
i
2
= − 1
{displaystyle i^{2}=-1,}
i
3
= − i
{displaystyle i^{3}=-i,}
i
4
= 1
{displaystyle i^{4}=1,}
i
5
= i
{displaystyle i^{5}=i,}
⋮
{displaystyle vdots }
Các hàm ex, cos(x) và sin(x) (với giả sử x là số thực) có thể được viết như sau:
e
x
= 1 + x +
x
2
2 !
+
x
3
3 !
+ ⋯
{displaystyle e^{x}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+cdots }
cos x = 1 −
x
2
2 !
+
x
4
4 !
−
x
6
6 !
+ ⋯
{displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-{frac {x^{6}}{6!}}+cdots }
sin x = x −
x
3
3 !
+
x
5
5 !
−
x
7
7 !
+ ⋯
{displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+cdots }
Do bán kính hội tụ của mỗi chuỗi nêu trên là vô hạn, chúng ta có thể thay thế x bởi iz, với z là số phức. Khi đó:
e
i z
= 1 + i z +
( i z
)
2
2 !
+
( i z
)
3
3 !
+
( i z
)
4
4 !
+
( i z
)
5
5 !
+
( i z
)
6
6 !
+
( i z
)
7
7 !
+
( i z
)
8
8 !
+ ⋯
{displaystyle e^{iz}=1+iz+{frac {(iz)^{2}}{2!}}+{frac {(iz)^{3}}{3!}}+{frac {(iz)^{4}}{4!}}+{frac {(iz)^{5}}{5!}}+{frac {(iz)^{6}}{6!}}+{frac {(iz)^{7}}{7!}}+{frac {(iz)^{8}}{8!}}+cdots }
= 1 + i z −
z
2
2 !
−
i
z
3
3 !
+
z
4
4 !
+
i
z
5
5 !
−
z
6
6 !
−
i
z
7
7 !
+
z
8
8 !
+ ⋯
{displaystyle =1+iz-{frac {z^{2}}{2!}}-{frac {iz^{3}}{3!}}+{frac {z^{4}}{4!}}+{frac {iz^{5}}{5!}}-{frac {z^{6}}{6!}}-{frac {iz^{7}}{7!}}+{frac {z^{8}}{8!}}+cdots }
=
(
1 −
z
2
2 !
+
z
4
4 !
−
z
6
6 !
+
z
8
8 !
− ⋯
)
+ i
(
z −
z
3
3 !
+
z
5
5 !
−
z
7
7 !
+ ⋯
)
{displaystyle =left(1-{frac {z^{2}}{2!}}+{frac {z^{4}}{4!}}-{frac {z^{6}}{6!}}+{frac {z^{8}}{8!}}-cdots right)+ileft(z-{frac {z^{3}}{3!}}+{frac {z^{5}}{5!}}-{frac {z^{7}}{7!}}+cdots right)}
= cos ( z ) + i sin ( z )
{displaystyle =cos(z)+isin(z),}
Việc sắp xếp lại các số hạng là thích hợp do mỗi chuỗi đều là chuỗi hội tụ tuyệt đối. Lấy z = x là một số thực sẽ dẫn đến đẳng thức nguyên thủy mà Euler đã khám phá ra.
Bằng cách sử dụng phép tính vi tích phân
Xét hàm số
f
{displaystyle f}
xác định bởi:
f ( x ) =
e
i x
cos x + i sin x
{displaystyle f(x)={frac {e^{ix}}{cos x+isin x}}}
Ta sẽ chứng minh rằng
cos
x
+ i sin
x
{displaystyle cos {x}+isin {x},}
khác 0 với mọi x
Thật vậy; giả sử
cos
x
+ i sin
x
= 0
{displaystyle cos {x}+isin {x}=0,}
thì
cos
x
= − i sin
x
{displaystyle cos {x}=-isin {x},}
; do đó
cos
2
x
= −
sin
2
x
{displaystyle cos ^{2}{x}=-sin ^{2}{x},}
; vậy
cos
2
x
+
sin
2
x
= 0
{displaystyle cos ^{2}{x}+sin ^{2}{x}=0,}
(vô lý)
Xem thêm : Cách tính giá nhập kho hàng hóa, thành phầm, nguyên vật liệu
Do đó mẫu của:
f
{displaystyle f }
khác 0
Bây giờ tính đạo hàm của:
f
{displaystyle f }
theo quy tắc chia; dễ thấy
f ′
( x ) = 0 ∀ x
{displaystyle f'(x)=0forall x}
Vì vậy:
f
{displaystyle f }
phải là hàm hằng; có nghĩa là với mọi:
y
{displaystyle y }
thì
f ( x ) = f ( y )
{displaystyle f(x)=f(y) }
Bây giờ cho:
y = 0
{displaystyle y=0 }
ta thấy:
f ( 0 ) = 1
{displaystyle f(0)=1 }
; do đó:
f ( x ) = 1 ∀ x
{displaystyle f(x)=1forall x}
vậy
e
i x
= cos x + i sin x ∀ x
{displaystyle e^{ix}=cos x+isin xforall x}
Bằng cách sử dụng phương trình vi phân thường
Xét hàm số
f ( x )
{displaystyle f(x)}
xác định bởi
f ( x ) ≡
e
i x
.
{displaystyle f(x)equiv e^{ix}. }
Chú ý rằng
i
{displaystyle i}
là hằng số, đạo hàm bậc nhất và bậc hai của
f ( x )
{displaystyle f(x)}
sẽ là
f ′
( x ) = i
e
i x
{displaystyle f'(x)=ie^{ix} }
f ″
( x ) =
i
2
e
i x
= −
e
i x
{displaystyle f”(x)=i^{2}e^{ix}=-e^{ix} }
do
i
2
= − 1
{displaystyle i^{2}=-1}
theo định nghĩa. Từ đó chúng ta xây dựng phương trình vi phân thường tuyến tính có bậc 2 như sau:
f ″
( x ) = − f ( x )
{displaystyle f”(x)=-f(x) }
hay
f ″
( x ) + f ( x ) = 0.
{displaystyle f”(x)+f(x)=0. }
Đây là một phương trình vi phân thường bậc 2, do đó nó sẽ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là:
f
1
( x ) = cos ( x )
{displaystyle f_{1}(x)=cos(x) }
f
2
( x ) = sin ( x ) .
{displaystyle f_{2}(x)=sin(x). }
Cả
cos ( x )
{displaystyle cos(x)}
và
sin ( x )
{displaystyle sin(x)}
đều là các hàm số thực có đạo hàm bậc hai đồng nhất với giá trị âm của chính nó. Ngoài ra, bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm của một phương trình vi phân thuần nhất cũng sẽ lại là một nghiệm của nó. Do vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã nêu là
f ( x )
{displaystyle f(x),}
= A
f
1
( x ) + B
f
2
( x )
{displaystyle =Af_{1}(x)+Bf_{2}(x) }
= A cos ( x ) + B sin ( x )
{displaystyle =Acos(x)+Bsin(x) }
với mọi hằng số
A
{displaystyle A}
và
B .
{displaystyle B.}
Tuy nhiên, không phải mọi giá trị của các hằng số này đều thỏa mãn điều kiện ban đầu của hàm
f ( x )
{displaystyle f(x)}
:
f ( 0 ) =
e
i 0
= 1
{displaystyle f(0)=e^{i0}=1 }
f ′
( 0 ) = i
e
i 0
= i
{displaystyle f'(0)=ie^{i0}=i }
.
Các điều kiện ban đầu giống nhau này (áp dụng cho nghiệm tổng quát) sẽ dẫn đến kết quả sau
f ( 0 ) = A cos ( 0 ) + B sin ( 0 ) = A
{displaystyle f(0)=Acos(0)+Bsin(0)=A }
f ′
( 0 ) = − A sin ( 0 ) + B cos ( 0 ) = B
{displaystyle f'(0)=-Asin(0)+Bcos(0)=B }
Từ đó cho
f ( 0 ) = A = 1
{displaystyle f(0)=A=1 }
f ′
( 0 ) = B = i
{displaystyle f'(0)=B=i }
và sau cùng là
f ( x ) ≡
e
i x
= cos ( x ) + i sin ( x ) .
{displaystyle f(x)equiv e^{ix}=cos(x)+isin(x). }
Xem thêm
- Đơn vị ảo
- Hàm mũ phức
Các chủ đề chính trong toán học Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê
Tham khảo
Nguồn: https://thegioiso.edu.vn
Danh mục: Vật Lí