Hình học 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 5, dây AB=8.

a) Tính khoảng cách từ O đến AB

Bạn đang xem: Hình học 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1, Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. CM: CD=AB

Hướng dẫn:

a) Gọi E là hình chiếu vuông góc của O lên AB. Khoảng cách từ O đến AB chính là OE

(OE=sqrt{OA^2-AE^2}=sqrt{5^2-4^2}=3)

b) Gọi F là hình chiếu vuông góc của O lên CD khi đó khoảng cách từ O đến CD chính là OF

Tứ giác OFIE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật nên OF=EI=AE-AI=4-1=3

suy ra OE=OF theo định lý 1 thì AB=CD

Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên trong đường tròn (A không trùng O). Chứng minh rằng trong tất cả các dây đi qua A thì dây vuông góc với OA tại A là dây ngắn nhất

Hướng dẫn:

Gọi FG là dây vuông góc với OA, HE là dây bất kì của đường tròn (O) đi qua A. J là hình chiếu vuông góc của O lên HE. Khi đó ta luôn có (OJleq OA)

Theo định lý 2 thì bất kì dây HE nào thì đều lớn hơn dây FG. Do khoảng cách từ O đến FG là lớn nhất (OA)

Bài 3: Cho đường tròn tâm (O) các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB và CD cắt nhau tại nằm bên ngoài đường tròn. Goij H, K lần lượt là trung điểm AB và CD. CMR:

a) EH=EK

b) EA=EC

Hướng dẫn:

a) Ta có: vì H, K là trung điểm AB và CD nên OH, OK lần lượt vuông góc với AB và CD.

Xét 2 tam giác vuông OHE và OKE có: Huyền OE chung; OH=OK ( dây AB=CD) nên (Delta OHE=Delta OKE(ch-cgv)Rightarrow EH=EK)

b) (EA=EH+HA; EC=EK+KC) mà EH=EK (CM trên); (HA=frac{1}{2}AB=frac{1}{2}CD=KCRightarrow EA=EC)

Bài 1:

Cho đường tròn (O;R). Vẽ hai bán kính OA, OB . Trên các bán kính OA, OB lấy M,N sao cho OM=ON. Vẽ dây CD đi qua MN (M giữa C và N)

a) CM: CM=DN

b) giả sử (widehat{AOB}=90^{circ}) . Tính OM theo R sao cho CM=MN=ND

Hướng dẫn:

Xét 2 tam giác COM và DON có: OM=ON (gt); (widehat{OCM}=widehat{ODN}) (OCD cân); OC=OD; (widehat{OMC}=widehat{OND})

Xem thêm : Bí Quyết Trong Cách Làm Sữa Đậu Xanh Bằng Máy Xay Sinh Tố

nên (Delta COM=Delta DONRightarrow DN=CM)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN và đặt OH=x khi đó (OM=x.sqrt{2}). Vì Tam giác OMN vuông cân nên HN=OH=x suy ra (HD=3.x)

do tam giác OHD vuông nên: (OH^2+HD^2=OD^2Rightarrow x^2+9.x^2=R^2Rightarrow x=frac{R}{sqrt{10}}Rightarrow OM=frac{R}{sqrt{5}})

Bài 2: Cho (O;R) vẽ 2 dây cung AB và CD không qua tâm và vuông góc với nhau tại M. Đặt OM=d, I, K là trung điểm AB, CD

a) CM: (AB^2+CD^2=4(2R^2-d^2))

b) CM: (AC^2+BD^2=4R^2)

Hướng dẫn:

a) Tứ giác KMIO có 3 góc vuông nên KMIO là hình chữ nhật suy ra: OK=MI

Khi đó: (AB^2+CD^2=(2AI)^2+(2KD)^2=4(AI^2+KD^2))

(=4(R^2-OI^2+R^2-OK^2)=4(2R^2-(OI^2+IM^2))=4(2R^2-d^2))

b) Gọi AE là đường kính của (O).Ta sẽ chứng minh tứ giác CEBD là hình thang cân

Đầu tiên: do tam giác ABE có AE là đường kính nên ABE vuông tại B hay (EBperp ABRightarrow EBparallel CD)

Gọi H là trung điểm EB nên (KHperp EB) nên tứ giác CEBD là hình thang cân (Rightarrow BD=CE)

(AC^2+BD^2=AC^2+CE^2=AE^2=4R^2)

Nguồn: https://thegioiso.edu.vn
Danh mục: Điện Máy